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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク ケーニヒの定理 (集合論) ： ウィキペディア日本語版 ケーニヒの定理 (集合論)[けーにひのていり] 集合論において、ケーニヒの定理 (ハンガリー人数学者 Gyula Kőnig に由来する。ケーニヒはJulius Königの名前で発表していた。) とは選択公理の下で成り立つ命題で、 ''I'' が集合で、全ての ''I'' の要素 ''i'' について ''mi'' と ''ni'' は それぞれ基数であり、であるなら : となる。というものである。 ここでの ''和'' は集合''mi''達の直和の濃度で、 ''積'' は直積の濃度である。 しかしながら、選択公理を仮定しない場合は、この和と積は基数として定義できないので、 その場合にこの定理を考慮するにはこの不等式の意味は明らかにされる必要がある。 == 詳細 == 定理の正確な内容は以下のようになる: ''I'' を集合 ,その任意の要素 ''i'' に対して ''Ai'' と ''Bi'' を 集合で、 : となる。ここで < は ''基数の意味で真に小さい'' ことを意味する。 言い換えると、''Ai'' から ''Bi''への単射があるが、逆方向には単射がない。 この和は直和でなくてもよい(選択公理の有無に関わらず、単なる集合和は直和より決して大きくはならない)。 ここでのケーニヒの定理は選択公理と同値である。 (もちろん、ケーニヒの定理は添え字集合 ''I'' が無限で''mi'' と ''ni''が有限基数なら自明である。 ''I'' が空集合なら、左辺の和は0になり、右辺の積は1となる。) ケーニヒの定理は結論が狭義の不等式になっていることが注目すべき点である。 基数の無限和と無限積の演算に関する広義不等号 ≤ を結論に持つ簡単なルールはたくさんある。 例えば、: ''I'' の要素 ''i'' に対してならば、 :$\backslash sum\_\; m\_i\; \backslash le\; \backslash sum\_\; n\_i$ とまでしか言えない。例として、$m\_i\; =\; 1$ & $n\_i\; =\; 2$で添え字集合 ''I'' は自然数全体とすれば 両辺の和は$\backslash aleph\_0$となり、等号が成立することになる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ケーニヒの定理 (集合論)」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.